Enfoque constructivista de la inclusión de conjuntos, independiente de verdades vacuas.
La inclusión de conjuntos es parte de los cimientos de la matemática. Y, que el conjunto vacío está incluido en todo conjunto, es un enfoque conveniente. Me puse a meditar en un enfoque constructivista riguroso e independiente de la verdad vacua de la que depende la definición estándar.
Para este fin, considero necesario introducir una distinción en la inclusión de conjuntos, y una definición generalizada que abarque estas distinciones.
La definición estándar:
Cuando pensamos que un primer conjunto está incluido en un segundo, lo más natural es considerar que los elementos del primero también pertenecen al segundo. De hecho, eso describe la definición estándar de la inclusión:
Definición estándar:
A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)
Una propiedad derivada es que la unión del primero con el segundo es, simplemente, el segundo:
A \subseteq B \implies A \cup B = B
La propiedad anterior también se cumple uniendo cualquier conjunto con el conjunto vacío:
A \cup \emptyset = A
Es intuitivo que el conjunto vacío, de alguna forma, es parte de todo conjunto.
Entonces debe formalizarse que el conjunto vacío está incluido en todo conjunto. El problema surge porque el vacío no tiene elementos: ¿cómo afirmar que sus elementos(inexistentes) pertenecen a cualquier otro? Es aquí donde los matemáticos apelan a la verdad vacua. Se trata de una proposición considerada verdadera por la simple razón de que no se puede contradecir.
¿Que algo no se pueda contradecir implica que sea verdad? Los matemáticos han convenido que en lógica formal sí. Ejemplo: Si una persona dice "Te pagaré cuando los chanchos vuelen". A pesar de que dice “te pagaré”, si nunca realiza el pago, desde el punto de vista de la lógica formal, la persona no mintió ya que los chanchos nunca volarán. Sin embargo, en el habla coloquial y usando el sentido común, a esta persona se la podría catalogar de mentirosa y afirmar que no tiene intención de pagar.
Ahora, al considerar al conjunto vacío en la la definición de inclusión:
\emptyset \subseteq B \iff \forall x (x \in \emptyset \implies x \in B)
Desde la lógica formal, la proposición anterior es verdadera: porque la condición (x \in \emptyset) imposible, garantiza que nunca tendremos que lidiar con la consecuencia(posible o no). Entonces, desde la lógica formal, la implicación es verdadera, y la definición de inclusión para el conjunto vacío es válida, luego el conjunto vacío está incluido en todo conjunto.
Mi observación:
Y si también es posible un enfoque constructivista ¿Por qué no plantearlo? Es un ejercicio interesante, llegar a los mismos resultados por caminos lógicos distintos. Considero posible formalizar la inclusión del vacío sin depender de la convención de que una implicación es verdad si el antecedente es falso.
La propuesta:
Una vez que aceptamos que debe formalizase la inclusión para el vacío, aceptamos que contrasta de la inclusión entre conjuntos que sí tienen elementos. Entonces propongo distinguir dos tipos de inclusiones: la elemental, cuando los dos conjuntos implicados tienen elementos; y la estructural, cuando uno de los conjuntos es vacío. Y llamo a este segundo tipo estructural porque, sin tener elementos, el conjunto vacío incluido debe satisfacer las reglas derivadas de la definición.
Desde un enfoque constructivista, la definición estándar es válida cuando ambos conjuntos tienen elementos, para el caso del vacío podemos emplear su contrarrecíproca para formalizar una definición más genérica. En lógica, para toda implicación P \implies Q existe una contrarrecíproca: \neg Q \implies \neg P. Si aplicamos esto a la inclusión, obtenemos:
Definición general de la inclusión:
Un primer conjunto está incluido en un segundo, cuando los elementos que no pertenecen al segundo tampoco pertenecen al primero.
A \subseteq B \iff \forall x (x \notin B \implies x \notin A)
Esta definición es particularmente potente para el conjunto vacío: dado que al vacío no pertenece ningún elemento.
- La afirmación "los elementos que no pertenecen a B tampoco pertenecen al vacío" es siempre cierta y directa. La definición se cumple y el vacío está incluido en B sin necesidad de recurrir a la vacuidad de una implicación.
- Si A tiene los mismos elementos que B, la definición se mantiene y todo conjunto está incluido en sí mismo.
- Si A y B cumplen con la definición, esta no se invalida cuando haya algún elemento que sí pertenece a B pero no pertenece a A.
- Si A y B no tienen elementos, es obvio que los elementos que no pertenecen a A tampoco pertenecen a B, luego el conjunto vacío está incluido en sí mismo.
Los puntos 1 y 4 son los casos de inclusión estructural; los casos 2 y 3, de inclusión elemental.
Este es el enfoque constructivista que propongo: distinguir entre inclusiones elemental y estructural, y analizarlas mediante la lógica de la no-pertenencia, resultando en una estructura más intuitiva, sin depender de la verdad vacua. En cuanto a la definición estándar de la inclusión, en este enfoque, también es válida pero aplica solo a la inclusión elemental, es decir, cuando ambos conjuntos tienen elementos.
Conclusión:
Las proposiciones verdaderas por vacuidad son verdades por convención. Y, para abarcar al vacío, la definición estándar de la inclusión de conjuntos depende de una verdad vacua.
Considero que si el camino constructivista es posible, también debe formalizarse.
Distinguir entre inclusión elemental y estructural, abre la posibilidad para un camino constructivista. La lógica formal también incluye proposiciones contrarrecíprocas, particularmente esta: A \subseteq B \iff \forall x (x \notin B \implies x \notin A) es una definición general que abarca las inclusiones elemental y estructural(que corresponde al vacío) entre conjuntos.